ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CÁLCULO

LOS PROBLEMAS QUE DIERON ORIGEN AL CÁLCULO INFINITESIMAL SE EMPEZARON A PLANTEAR EN LA GRECIA CLÁSICA (SIGLO III A.N.E) PERO NO SE ENCONTRARON MÉTODOS SISTEMÁTICOS HASTA VEINTE SIGLOS DESPUÉS, CON LA CONTRIBUCIÓN DE NEWTON Y LEIBNIZ.

SIGLO XVIII

LOS MATEMÁTICOS LE PERDIERON EL MIEDO A LOS INFINITOS: KEPLER Y CAVELIERI FUERON LOS PRIMEROS EN USARLOS, Y ABRIERON CAMINO AL DESCUBRIMIENTO DEL CÁLCULO INFINITESIMAL.

A MEDIADOS DEL SIGLO XVII

LAS CANTIDADES INFINITESIMALES FUERON CADA VEZ MÁS USADAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL Y LOS OTROS AL CÁLCULO INTEGRAL.

NEWTON Y LEIBNIZ

A FINES DEL SIGLO XVIII SINTETIZARON EN DOS CONCEPTOS LOS MÉTODOS USADOS POR SUS PREDECESORES: LO QUE LE LLAMAMOS DERIVADOS E INTEGRALES.

DESARROLLARON, ADEMÁS, REGLAS PARA MANIPULAR DERIVADAS, Y MOSTRARON QUE AMBOS CONCEPTOS ERAN OPERACIONES INVERSAS, LO CUAL ES LA ESENCIA DEL TEOREMA  FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

NEWTON Y LEIBNIZ SON CONSIDERADOS LOS INVENTORES DEL CÁLCULO PERO REPRESENTAN UN ESLABÓN EN UNA LARGA CADENA INICIADA MUCHOS SIGLOS ANTES. FUERON ELLOS QUIENES DIERON A LOS PROCEDIMIENTOS INFINITESIMALES DE SUS ANTECESORES INMEDIATOS, BARROW Y FERMAT, LA UNIDAD ALGORÍTMICA Y LA PRECISIÓN NECESARIA COMO MÉTODO NOVEDOSO Y DE GENERALIDAD SUFICIENTE PARA SU DESARROLLO POSTERIOR.

ISAAC NEWTON (1642-1727) INGLATERRA

DESARROLLO SU PROPIO MÉTODO PARA EL CÁLCULO DE TANGENTES. EN 1665 ENCONTRÓ UN ALGORITMO PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS QUE COINCIDÍAN CON EL DESCUBRIMIENTO DE FERMAT.

A FINES DE 1665 REESTRUCTURA LAS BASES DE SU CÁLCULO, INTENTANDO DESLIGARSE DE LOS INFINITESIMALES, E INTRODUJO “FLUXIÓN”: QUE PARA ÉL ERA LA VELOCIDAD CON LA QUE UNA VARIABLE FLUYE CON EL TIEMPO.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) ALEMANIA

 DESCUBRIÓ Y EMPEZÓ A DESARROLLAR EL CÁLCULO DIFERENCIAL EN 1675.

FUE EL PRIMERO EN PUBLICAR LOS MISMOS RESULTADOS QUE NEWTON DESCUBRIÓ 10 AÑOS ANTES.

DIFERENCIÁNDOSE DE NEWTON, TRATO LA DERIVADA COMO UN COCIENTE DE INCREMENTAL Y NO COMO UNA VELOCIDAD.

FUE QUIZÁS EL MAYOR INVENTOR DE SÍMBOLOS. ÉL PUSO LOS NOMBRES DE CÁLCULO DIFERENCIAL Y CALCULO INTEGRAL, ASÍ COMO LOS SÍMBOLOS Y EL DE, PARA LA DERIVADA Y LA INTEGRAL, QUE EN LA ACTUALIDAD CONSERVAN VIGENCIA Y USO.

FUE EL PRIMERO EN USAR EL TÉRMINO “FUNCIÓN” Y EL USO DEL SÍMBOLO PARA LA IGUALDAD.

 ENTONCES… ¿QUIEN DESCUBRIO EL CALCULO?

LOS DOS DESCUBRIMIENTOS FUERON INDEPENDIENTES Y SIGUIERON VÍAS DISTINTAS, TANTO CONCEPTUAL COMO METODOLÓGI  CAMENTE.

PERO LOS HERMANOS JAQUES Y JACOBO BERNOULLI, CONTRIBUYERON ENORMEMENTE AL DESARROLLO DEL CÁLCULO CREADO POR LEIBNIZ.

MARQUES DE L´HOPITAL

CONTRATO A BERNOULLI PARA QUE LE EXPLICARA LOS NUEVOS DESCUBRIMIENTOS ACERCA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL.

LOS NUEVOS MÉTODOS TUVIERON CADA VEZ MÁS ÉXITO Y PERMITIERON RESOLVER CON FACILIDAD MUCHOS PROBLEMAS. LOS NUEVOS LOGROS FUERON SOMETIDOS A SEVERAS CRÍTICAS, PUES LA JUSTIFICACIÓN Y LAS EXPLICACIONES LÓGICAS Y RIGURIDAD DE LOS PROCEDIMIENTOS EMPLEADOS NO SE DIERON HASTA AVANZADO EL SIGLO XIX, CUANDO APARECIERON OTROS MATEMÁTICOS, MÁS PREOCUPADOS POR LA PRESENTACIÓN FINAL DE OS MÉTODOS QUE POR SU UTILIZACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONCRETOS.

EL SIGLO XVII Y LA DISPUTA POR LA CREACIÓN DEL CÁLCULO

EN SUS COMIENZOS EL CÁLCULO FUE DESARROLLADO PARA ESTUDIAR CUATRO PROBLEMAS CIENTÍFICOS Y MATEMÁTICOS:

ENCONTRAR LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO.

ENCONTRAR EL VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA CANTIDAD.

ENCONTRAR LA LONGITUD DE UNA CURVA, EL ÁREA DE UNA REGIÓN Y EL VOLUMEN DE UN SÓLIDO.

DADA UNA FÓRMULA DE LA DISTANCIA RECORRIDA POR UN CUERPO EN CUALQUIER TIEMPO CONOCIDO, ENCONTRAR LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN DEL CUERPO EN CUALQUIER INSTANTE. RECÍPROCAMENTE, DADA UNA FÓRMULA EN LA QUE SE ESPECIFIQUE LA ACELERACIÓN O LA VELOCIDAD EN CUALQUIER INSTANTE, ENCONTRAR LA DISTANCIA RECORRIDA POR EL CUERPO EN UN PERÍODO DE TIEMPO CONOCIDO.

EN PARTE ESTOS PROBLEMAS FUERON ANALIZADOS POR LAS MENTES MÁS BRILLANTES DE ESTE SIGLO, GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ Y EL FÍSICO ISAAC NEWTON.

EL SIGLO XVIII

EN EL SIGLO XVII EL CÁLCULO CONOCIÓ UN ENORME DESARROLLO SIENDO LOS AUTORES MÁS DESTACADOS DESCARTES, PASCAL Y, FINALMENTE, LEIBNIZ Y NEWTON CON EL CÁLCULO INFINITESIMAL QUE EN MUCHAS OCASIONES HA RECIBIDO SIMPLEMENTE, POR ABSORCIÓN, EL NOMBRE DE CÁLCULO.

EL CONCEPTO DE CÁLCULO FORMAL EN EL SENTIDO DE ALGORITMO REGLADO PARA EL DESARROLLO DE UN RAZONAMIENTO Y SU APLICACIÓN AL MUNDO DE LO REAL ADQUIERE UNA IMPORTANCIA Y DESARROLLO ENORME RESPONDIENDO A UNA NECESIDAD DE ESTABLECER RELACIONES MATEMÁTICAS ENTRE DIVERSAS MEDIDAS, ESENCIAL PARA EL PROGRESO DE LA CIENCIA FÍSICA QUE, DEBIDO A ESTO, ES TOMADA COMO NUEVO MODELO DE CIENCIA FRENTE A LA ESPECULACIÓN TRADICIONAL FILOSÓFICA, POR EL RIGOR Y SEGURIDAD QUE OFRECE EL CÁLCULO MATEMÁTICO. CAMBIA ASÍ EL SENTIDO TRADICIONAL DE LA FÍSICA COMO FILOSOFÍA DE LA NATURALEZA Y TOMA EL SENTIDO DE CIENCIA QUE ESTUDIA LOS CUERPOS MATERIALES, EN CUANTO MATERIALES.

A PARTIR DE ENTONCES EL PROPIO SISTEMA DE CÁLCULO PERMITE ESTABLECER MODELOS SOBRE LA REALIDAD FÍSICA, CUYA COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL SUPONE LA CONFIRMACIÓN DE LA TEORÍA COMO SISTEMA. ES EL MOMENTO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL LLAMADO MÉTODO CIENTÍFICO CUYO MEJOR EXPONENTE ES EN AQUEL MOMENTO LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LAS LEYES DE LA MECÁNICA DE NEWTON.

DURANTE BUENA PARTE DEL SIGLO XVIII LOS DISCÍPULOS DE NEWTON Y LEIBNIZ SE BASARON EN SUS TRABAJOS PARA RESOLVER DIVERSOS PROBLEMAS DE FÍSICA, ASTRONOMÍA E INGENIERÍA, LO QUE LES PERMITIÓ, AL MISMO TIEMPO, CREAR CAMPOS NUEVOS DENTRO DE LAS MATEMÁTICAS. ASÍ, LOS HERMANOS BERNOULLI INVENTARON EL CÁLCULO DE VARIACIONES Y EL MATEMÁTICO FRANCÉS MONGE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA. LAGRANGE, TAMBIÉN FRANCÉS, DIO UN TRATAMIENTO COMPLETAMENTE ANALÍTICO DE LA MECÁNICA, REALIZÓ CONTRIBUCIONES AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y LA TEORÍA DE NÚMEROS, Y DESARROLLÓ LA TEORÍA DE GRUPOS. SU CONTEMPORÁNEO LAPLACE ESCRIBIÓ TEORÍA ANALÍTICA DE LAS PROBABILIDADES (1812) Y EL CLÁSICO MECÁNICA CELESTE (1799-1825), QUE LE VALIÓ EL SOBRENOMBRE DE "EL NEWTON FRANCÉS".

SIN EMBARGO EL GRAN MATEMÁTICO DEL SIGLO FUE EL SUIZO EULER, QUIEN APORTÓ IDEAS FUNDAMENTALES SOBRE EL CÁLCULO Y OTRAS RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS Y SUS APLICACIONES. EULER ESCRIBIÓ TEXTOS SOBRE CÁLCULO, MECÁNICA Y ÁLGEBRA QUE SE CONVIRTIERON EN MODELOS A SEGUIR PARA OTROS AUTORES INTERESADOS EN ESTAS DISCIPLINAS. EL ÉXITO DE EULER Y DE OTROS MATEMÁTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS TANTO MATEMÁTICOS COMO FÍSICOS UTILIZANDO EL CÁLCULO SÓLO SIRVIÓ PARA ACENTUAR LA FALTA DE UN DESARROLLO ADECUADO Y JUSTIFICADO DE LAS IDEAS BÁSICAS DEL CÁLCULO. LA TEORÍA DE NEWTON SE BASÓ EN LA CINEMÁTICA Y LAS VELOCIDADES, LA DE LEIBNIZ EN LOS INFINITÉSIMOS, Y EL TRATAMIENTO DE LAGRANGE ERA COMPLETAMENTE ALGEBRAICA Y BASADA EN EL CONCEPTO DE LAS SERIES INFINITAS. TODOS ESTOS SISTEMAS ERAN INADECUADOS EN COMPARACIÓN CON EL MODELO LÓGICO DE LA GEOMETRÍA GRIEGA, Y ESTE PROBLEMA NO FUE RESUELTO HASTA EL SIGLO POSTERIOR.

A LOS MATEMÁTICOS DE FINES DEL SIGLO EL HORIZONTE MATEMÁTICO LES PARECÍA OBSTRUIDO. SE HABÍA LLEGADO AL ESTUDIO DE CUESTIONES MUY COMPLICADAS A LAS QUE NO SE LES CONOCÍA O VEÍA UN ALCANCE CLARO. LOS SABIOS SENTÍAN LA NECESIDAD DE ESTUDIAR CONCEPTOS NUEVOS Y HALLAR NUEVOS PROCEDIMIENTOS.

 EL SIGLO XIX

EL CONCEPTO DE CÁLCULO Y SUS RAMIFICACIONES SE INTRODUJO EN EL SIGLO XVIII, CON EL GRAN DESARROLLO QUE OBTUVO EL ANÁLISIS MATEMÁTICO, CREANDO RAMAS COMO EL CÁLCULO DIFERENCIAL, INTEGRAL Y DE VARIACIONES.

PERO PRONTO SURGIÓ EL PROBLEMA DE LA CONVERGENCIA DE LA SERIE, QUE SE RESOLVIÓ EN PARTE CON LA INTRODUCCIÓN DE TÉRMINOS RESIDUALES, ASÍ COMO CON LA TRANSFORMACIÓN DE SERIES EN OTRAS QUE FUESEN CONVERGENTES. JUNTO A LAS SERIES DE POTENCIAS SE INCLUYERON NUEVOS TIPOS DE DESARROLLOS DE FUNCIONES, COMO SON LOS DESARROLLOS EN SERIES ASINTÓTICAS INTRODUCIDOS POR STIRLING Y EULER. LA ACUMULACIÓN DE RESULTADOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL TRANSCURRIÓ RÁPIDAMENTE, ACUMULANDO CASI TODOS LOS RESULTADOS QUE CARACTERIZAN SU ESTRUCTURA ACTUAL.

INTRODUCIR EL CÁLCULO INTEGRAL, SE LOGRÓ CON EL ESTUDIO DE J.BERNOULLI, QUIEN ESCRIBIÓ EL PRIMER CURSO SISTEMÁTICO DE CÁLCULO INTEGRAL EN 1742. SIN EMBARGO, FUE EULER QUIEN LLEVÓ LA INTEGRACIÓN HASTA SUS ÚLTIMAS CONSECUENCIAS, DE TAL FORMA QUE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INDEFINIDA ALCANZARON PRÁCTICAMENTE SU NIVEL ACTUAL. EL CÁLCULO DE INTEGRALES DE TIPOS ESPECIALES YA A COMIENZOS DE SIGLO, CONLLEVÓ EL DESCUBRIMIENTO DE UNA SERIE DE RESULTADOS DE LA TEORÍA DE LAS FUNCIONES ESPECIALES. COMO LAS FUNCIONES GAMMA Y BETA, EL LOGARITMO INTEGRAL O LAS FUNCIONES ELÍPTICAS.

ESTE ES EL DESARROLLO LAS MATEMÁTICAS HAN OBTENIDO DESDE QUE EL HOMBRE VIO LA NECESIDAD DE CONTAR, HASTA NUESTROS DÍAS. ACTUALMENTE GRAN CANTIDAD DE MATEMÁTICOS SIGUEN EN EL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS DENOMINADAS MATEMÁTICAS MODERNAS, DE DONDE SUS CONCEPTOS SON LA BASE DE LA MAYOR PARTE DE LAS CIENCIAS ACTUALES.

EN RELACIÓN CON EL ANÁLISIS MATEMÁTICO EN ESTE SIGLO, SE FUNDAMENTÓ EN UN CONJUNTO DE PROCEDIMIENTOS Y MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE NUMEROSOS PROBLEMAS QUE CRECÍA RÁPIDAMENTE. TODOS ESTOS MÉTODOS AUN PODÍAN DIVIDIRSE EN TRES GRANDES GRUPOS, CONSTITUIDOS EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL, EL CÁLCULO INTEGRAL Y LA TEORÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CON ESTOS FUNDAMENTOS SE LLEGÓ A LO QUE SE CONOCE COMO TEORÍA DE LÍMITES Y DE FUNCIONES, QUE FUERON EL TEMA CENTRAL EN ESTE SIGLO.

UN PROBLEMA IMPORTANTE FUE DEFINIR EL SIGNIFICADO DE LA PALABRA FUNCIÓN. EULER, LAGRANGE Y EL MATEMÁTICO FRANCÉS FOURIER APORTARON SOLUCIONES, PERO FUE EL MATEMÁTICO ALEMÁN DIRICHLET QUIEN PROPUSO SU DEFINICIÓN EN LOS TÉRMINOS ACTUALES. EN 1821, UN MATEMÁTICO FRANCÉS, CAUCHY, CONSIGUIÓ UN ENFOQUE LÓGICO Y APROPIADO DEL CÁLCULO Y SE DEDICÓ A DAR UNA DEFINICIÓN PRECISA DE "FUNCIÓN CONTINUA". BASÓ SU VISIÓN DEL CÁLCULO SÓLO EN CANTIDADES FINITAS Y EL CONCEPTO DE LÍMITE. ESTA SOLUCIÓN PLANTEÓ UN NUEVO PROBLEMA, EL DE LA DEFINICIÓN LÓGICA DE NÚMERO REAL. AUNQUE LA DEFINICIÓN DE CÁLCULO DE CAUCHY ESTABA BASADA EN ESTE CONCEPTO, NO FUE ÉL SINO EL MATEMÁTICO ALEMÁN DEDEKIND QUIEN ENCONTRÓ UNA DEFINICIÓN ADECUADA PARA LOS NÚMEROS REALES. LOS MATEMÁTICOS ALEMANES CANTOR Y WEIERSTRASS TAMBIÉN DIERON OTRAS DEFINICIONES CASI AL MISMO TIEMPO.

ADEMÁS DE FORTALECER LOS FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS, NOMBRE DADO A PARTIR DE ENTONCES A LAS TÉCNICAS DEL CÁLCULO, SE LLEVARON A CABO IMPORTANTES AVANCES EN ESTA MATERIA. GAUSS, UNO DE LOS MÁS IMPORTANTES MATEMÁTICOS DE LA HISTORIA, DIO UNA EXPLICACIÓN ADECUADA DEL CONCEPTO DE NÚMERO COMPLEJO; ESTOS NÚMEROS FORMARON UN NUEVO Y COMPLETO CAMPO DEL ANÁLISIS, DESARROLLADO EN LOS TRABAJOS DE CAUCHY, WEIERSTRASS Y EL MATEMÁTICO ALEMÁN RIEMANN. OTRO IMPORTANTE AVANCE FUE EL ESTUDIO DE LAS SUMAS INFINITAS DE EXPRESIONES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, HERRAMIENTAS MUY ÚTILES TANTO EN LAS MATEMÁTICAS PURAS COMO EN LAS APLICADAS, HECHO POR FOURIER. CANTOR ESTUDIÓ LOS CONJUNTOS INFINITOS Y UNA ARITMÉTICA DE NÚMEROS INFINITOS. LA TEORÍA DE CANTOR FUE CONSIDERADA DEMASIADO ABSTRACTA Y CRITICADA. ENCONTRAMOS AQUÍ UN ESPÍRITU CRÍTICO EN LA ELABORACIÓN DE ESTAS NOCIONES TAN RICAS. ESTO CONSTITUYE UN PUNTO DE VISTA MUY DIFERENTE DEL QUE ANIMABA A LOS MATEMÁTICOS DEL SIGLO ANTERIOR. YA NO SE TRATA DE CONSTRUIR EXPRESIONES NI FORJAR NUEVOS MÉTODOS DE CÁLCULO, SINO DE ANALIZAR CONCEPTOS CONSIDERADOS HASTA ENTONCES INTUITIVOS.

GAUSS DESARROLLÓ LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA PERO TUVO MIEDO DE LA CONTROVERSIA QUE PUDIERA CAUSAR SU PUBLICACIÓN. TAMBIÉN EN ESTE SIGLO SE PASA DEL ESTUDIO SIMPLE DE LOS POLINOMIOS AL ESTUDIO DE LA ESTRUCTURA DE SISTEMAS ALGEBRAICOS.

LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA FUERON COMPLETAMENTE TRANSFORMADOS DURANTE EL SIGLO XIX, SOBRE TODO POR EL MATEMÁTICO INGLÉS BOOLE EN SU LIBRO INVESTIGACIÓN SOBRE LAS LEYES DEL PENSAMIENTO (1854).

DURANTE EL SIGLO XIX Y XX EL DESARROLLO CIENTÍFICO Y LA CREACIÓN DE MODELOS TEÓRICOS FUNDADOS EN SISTEMAS DE CÁLCULO APLICABLES TANTO EN MECÁNICA COMO EN ELECTROMAGNETISMO Y RADIOACTIVIDAD, ETC. ASÍ COMO EN ASTRONOMÍA FUE IMPRESIONANTE. LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS ENCUENTRAN APLICACIÓN EN MODELOS TEÓRICOS DE ASTRONOMÍA Y FÍSICA. EL MUNDO DEJA DE SER UN CONJUNTO DE INFINITAS PARTÍCULAS QUE SE MUEVEN EN UN ESPACIO-TIEMPO ABSOLUTO Y SE CONVIERTE EN UN ESPACIO DE CONFIGURACIÓN O ESPACIO DE FASES DE N DIMENSIONES QUE FÍSICAMENTE SE HACEN CONSISTENTES EN LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD, LA MECÁNICA CUÁNTICA, LA TEORÍA DE CUERDAS ETC. QUE CAMBIA POR COMPLETO LA IMAGEN DEL MUNDO FÍSICO.

LA LÓGICA ASIMISMO SUFRIÓ UNA TRANSFORMACIÓN RADICAL. LA FORMALIZACIÓN SIMBÓLICA FUE CAPAZ DE INTEGRAR LAS LEYES LÓGICAS EN UN CÁLCULO MATEMÁTICO, HASTA EL PUNTO QUE LA DISTINCIÓN ENTRE RAZONAMIENTO LÓGICO-FORMAL Y CÁLCULO MATEMÁTICO VIENE A CONSIDERARSE COMO MERAMENTE UTILITARIA.

EN LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XIX Y PRIMER TERCIO DEL XX, A PARTIR DEL INTENTO DE FORMALIZACIÓN DE TODO EL SISTEMA MATEMÁTICO, FREGE, Y DE MATEMATIZACIÓN DE LA LÓGICA, (BOLZANO, BOOLE, WHITEHEAD, RUSSELL) FUE POSIBLE LA GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO COMO CÁLCULO LÓGICO. SE LOGRARON MÉTODOS MUY POTENTES DE CÁLCULO, SOBRE TODO A PARTIR DE LA POSIBILIDAD DE TRATAR COMO "OBJETO" CONJUNTOS DE INFINITOS ELEMENTOS, DANDO LUGAR A LOS NÚMEROS TRANSFINITOS DE CANTOR.

SIGLO XX Y NUESTROS DÍAS

ES IMPORTANTE EL APORTE REALIZADO POR LEBESGUE REFERIDO A LA INTEGRACIÓN Y A LA TEORÍA DE LA MEDIDA Y LAS MODIFICACIONES Y GENERALIZACIONES REALIZADAS POR MATEMÁTICOS QUE LO SUCEDIERON.

EN LA CONFERENCIA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICOS QUE TUVO LUGAR EN PARÍS EN 1900, EL MATEMÁTICO ALEMÁN DAVID HILBERT, QUIEN CONTRIBUYÓ DE FORMA SUSTANCIAL EN CASI TODAS LAS RAMAS DE LA MATEMÁTICA RETOMÓ VEINTITRÉS PROBLEMAS MATEMÁTICOS QUE ÉL CREÍA PODRÍAN SER LAS METAS DE LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA DEL SIGLO QUE RECIÉN COMENZABA. ESTOS PROBLEMAS FUERON EL ESTÍMULO DE UNA GRAN PARTE DE LOS TRABAJOS MATEMÁTICOS DEL SIGLO.

EL AVANCE ORIGINADO POR LA INVENCIÓN DEL ORDENADOR O COMPUTADORA DIGITAL PROGRAMABLE DIO UN GRAN IMPULSO A CIERTAS RAMAS DE LA MATEMÁTICA, COMO EL ANÁLISIS NUMÉRICO Y LAS MATEMÁTICAS FINITAS, Y GENERÓ NUEVAS ÁREAS DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA COMO EL ESTUDIO DE LOS ALGORITMOS. SE CONVIRTIÓ EN UNA PODEROSA HERRAMIENTA EN CAMPOS TAN DIVERSOS COMO LA TEORÍA DE NÚMEROS, LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y EL ÁLGEBRA ABSTRACTA. ADEMÁS, EL ORDENADOR PERMITIÓ ENCONTRAR LA SOLUCIÓN A VARIOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS QUE NO SE HABÍAN PODIDO RESOLVER ANTERIORMENTE.

EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO DEL MUNDO MODERNO ESTÁ AVANZANDO MÁS RÁPIDO QUE NUNCA. TEORÍAS QUE ERAN COMPLETAMENTE DISTINTAS SE HAN REUNIDO PARA FORMAR TEORÍAS MÁS COMPLETAS Y ABSTRACTAS. AUNQUE LA MAYORÍA DE LOS PROBLEMAS MÁS IMPORTANTES HAN SIDO RESUELTOS, OTROS SIGUEN SIN SOLUCIÓN. AL MISMO TIEMPO APARECEN NUEVOS Y ESTIMULANTES PROBLEMAS Y AÚN LA MATEMÁTICA MÁS ABSTRACTA ENCUENTRA APLICACIÓN.

EN LA ACTUALIDAD, EL CÁLCULO EN SU SENTIDO MÁS GENERAL, EN TANTO QUE CÁLCULO LÓGICO INTERPRETADO MATEMÁTICAMENTE COMO SISTEMA BINARIO, Y FÍSICAMENTE HECHO MATERIAL MEDIANTE LA LÓGICA DE CIRCUITOS ELECTRÓNICOS, HA ADQUIRIDO UNA DIMENSIÓN Y DESARROLLO IMPRESIONANTE POR LA POTENCIA DE CÁLCULO CONSEGUIDA POR LOS ORDENADORES, PROPIAMENTE MÁQUINAS COMPUTADORAS. LA CAPACIDAD Y VELOCIDAD DE CÁLCULO DE ESTAS MÁQUINAS HACE LO QUE HUMANAMENTE SERÍA IMPOSIBLE: MILLONES DE OPERACIONES POR SEGUNDO.

EL CÁLCULO ASÍ UTILIZADO SE CONVIERTE EN UN INSTRUMENTO FUNDAMENTAL DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA POR LAS POSIBILIDADES QUE OFRECE PARA LA MODELIZACIÓN DE LAS TEORÍAS CIENTÍFICAS, ADQUIRIENDO ESPECIAL RELEVANCIA EN ELLO EL CÁLCULO NUMÉRICO.